什么是逆矩阵

对于一个$n×n$的方阵 A，如果存在一个同阶方阵 B，使得：

$$AB=BA=I$$

其中 $I$ 是 n 阶单位矩阵，则称 A 可逆（或非奇异），B 称为 A 的逆矩阵，记作 $A^{−1}$，即$A^{−1}=B$

• 不是所有的方阵都有逆矩阵，有不可逆方阵和可逆方阵
• 只有方阵才有逆矩阵和讨论可不可逆的价值
•  如果 A 可逆，那么A的逆矩阵是唯一的
• 奇异 = 行列式为零 = 不可逆（若矩阵的行列式为0就叫做奇异矩阵）

怎么判断有没有逆矩阵

1. A可逆$\Leftrightarrow$ $|A| \ne 0$

怎么算一个矩阵的逆矩阵

伴随矩阵法

当A可逆时，$A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}$（矩阵的伴随矩阵除以矩阵的行列式等于逆矩阵）

初等行变换法

2.12初等行变换法求逆矩阵

逆矩阵的性质

矩阵逆的逆是它本身

$$(A^{-1})^{-1}=A$$

证明： $AA^{-1}=E$ $|A||A^{-1}|=|E|=1$ $A \ne 0$，$A$可逆。同时说明$A^{-1} \ne 0$，$A^{-1}$可逆，$(A^{-1})^{-1}=A$

矩阵逆的转置等于矩阵转置的逆

$$(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$$

证明： $|A| \ne 0$ $|A^{T}| \ne 0$，$A^{T}$可逆 $A^{T}(A^{-1})^{T}=(A^{-1}A)^{T}=E^{T}=E$ 所以$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$

k倍的矩阵的逆等于k分之一乘矩阵的逆

$$(kA)^{−1}=\frac{1}{k}A^{−1} \quad (k≠0)$$

证明： $|A| \neq 0$ $|k A|=k^{n}|A| \neq 0$ $k A \cdot \frac{1}{k} A^{-1}=A A^{-1}=E$ $(k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1}$

矩阵伴随的逆等于矩阵逆的伴随等于矩阵除以矩阵的行列式

$$(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}=\frac{1}{|A|}A$$

证明：

矩阵乘积的逆等于反序的矩阵的逆的乘积

$$(AB)^{−1}=B^{−1}A^{−1}$$

证明：

矩阵的m次的逆等于矩阵的逆的m次

$$(A^{m})^{-1}=(A^{-1})^{m}$$

证明（以二次为例）：

矩阵逆的行列式等于矩阵行列式分之一

$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$$

证明：

矩阵的逆等于矩阵的伴随除以矩阵的行列式

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}$$