做法

把 $A$ 和 $E$ 并排写成增广矩阵 $(A \mid E)$，然后只做初等行变换，把左边化成 $E$，右边就自动变成 $A^{-1}$：

$$(A \mid E) \xrightarrow{\text{只做行变换把增广矩阵变成行简化阶梯形}} (E \mid A^{-1})$$

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如果增广矩阵的行简化阶梯形左边不是E，那么A不可逆（所以这个方法不需要提前判定A可逆）

为什么这样行得通？

设行变换对应的初等矩阵依次为 $P_1, P_2, \dots, P_k$：

$$P_k \cdots P_2 P_1 \cdot A = E$$

这说明 $P_k \cdots P_1 = A^{-1}$。

同时对右边做同样的变换：

$$P_k \cdots P_1 \cdot E = P_k \cdots P_1 = A^{-1}$$

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例子

求 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的逆：

$$\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{r_2 - 3r_1} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{array}\right)$$ $$\xrightarrow{-\frac{1}{2}r_2} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right) \xrightarrow{r_1 - 2r_2} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right)$$

所以 $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$。

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关键点：全程只能做行变换，不能混入列变换。因为 $PAQ = E$ 不能推出 $Q$ 就是逆

初等变换解简单矩阵方程AX=B

有两种情况，做法不同 关键在于：行变换是左乘初等矩阵，列变换是右乘。

情况一：$AX = B$

这里 $X$ 在右边，需要用 $A^{-1}$ 去左乘：

$$X = A^{-1}B$$

左乘对应行变换，所以：

$$(A \mid B) \xrightarrow{\text{只做行变换}} (E \mid A^{-1}B) = (E \mid X)$$

跟求 $A^{-1}$ 完全一样的套路，只不过右边放的是 $B$ 而不是 $E$。

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情况二：$XA = B$

这里 $X$ 在左边，需要用 $A^{-1}$ 去右乘：

$$X = BA^{-1}$$

右乘对应列变换，所以把增广矩阵竖着写：

$$\begin{pmatrix} A \\ \hline B \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{只做列变换}} \begin{pmatrix} E \\ \hline BA^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E \\ \hline X \end{pmatrix}$$

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对比例子

解 $AX = B$，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$：

$$\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 11 \end{array}\right) \xrightarrow{r_2 - 3r_1} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & -4 \end{array}\right) \xrightarrow{-\frac{1}{2}r_2} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \xrightarrow{r_1 - 2r_2} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)$$

得 $X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$。

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总结

本质上就是：想让 $A^{-1}$ 乘在哪边，就用哪边的变换。