积分与求导常用公式总结

一、求导公式

常数： $(C)' = 0$
幂函数： $(x^\mu)' = \mu x^{\mu-1}$ （ $\mu$ 为实数）
指数函数： $(e^x)' = e^x$ ， $(a^x)' = a^x \ln a$
对数函数： $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ ， $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
三角函数：
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $(\tan x)' = \sec^2 x$
- $(\cot x)' = -\csc^2 x$
- $(\sec x)' = \sec x \tan x$
- $(\csc x)' = -\csc x \cot x$
反三角函数：
- $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$
- $(\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$

线性法则： $(u \pm v)' = u' \pm v'$ ， $(cu)' = c u'$
乘积法则： $(uv)' = u'v + uv'$
商法则： $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ （ $v \neq 0$ ）
链式法则： $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
反函数求导：若 $y = f(x)$ 可导且 $f'(x) \neq 0$ ，则反函数 $x = \varphi(y)$ 的导数为 $\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)}$ 或 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$
隐函数求导：由 $F(x,y)=0$ 确定 $y=y(x)$ ，则 $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ （ $F_y \neq 0$ ）
参数方程求导： $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$ ，则 $\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$ ，二阶导 $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)}{[x'(t)]^3}$

$\int k \, dx = kx + C$
$\int x^\mu \, dx = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C$ （ $\mu \neq -1$ ）
$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
$\int e^x \, dx = e^x + C$
$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$
$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C$
$\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C$
$\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$
$\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$
$\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$
$\int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C$ （或 $-\arccos x + C$ ）
$\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C$ （或 $-\operatorname{arccot} x + C$ ）
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$ （ $a>0$ ）
$\int \frac{1}{a^2+x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C$
$\int \frac{1}{x^2-a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} \, dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C$

线性性质： $\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx$ ， $\int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$
分部积分法： $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ （选 $u$ 遵循“反对幂三指”顺序）
换元积分法：
- 第一类换元（凑微分）： $\int f(\varphi(x)) \varphi'(x) \, dx = \int f(u) \, du$ ，令 $u = \varphi(x)$
- 第二类换元： $\int f(x) \, dx$ ，令 $x = \psi(t)$ ，则 $dx = \psi'(t) \, dt$ ，转化为 $\int f(\psi(t)) \psi'(t) \, dt$ ，常用于去根号（三角代换、倒代换等）

牛顿-莱布尼茨公式： $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ ，其中 $F'(x) = f(x)$
线性性质：同不定积分
换元法： $\int_a^b f(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt$ ，需换限
分部积分法： $\int_a^b u \, dv = [uv]_a^b - \int_a^b v \, du$
奇偶对称性：
- 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$
- 若 $f(x)$ 为奇函数，则 $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$
周期性：若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则 $\int_a^{a+T} f(x) \, dx = \int_0^T f(x) \, dx$
华里士公式（点火公式）：
- $\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{为正偶数} \\ \frac{(n-1)!!}{n!!}, & n \text{为正奇数} \end{cases}$
区间再现公式： $\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx$
欧拉积分： $\int_0^{\pi/2} \ln\sin x \, dx = -\frac{\pi}{2} \ln 2$

偏导数： $\frac{\partial z}{\partial x}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y}$ （ $z = f(x,y)$ ）
全微分： $dz = \frac{\partial z}{\partial x} \, dx + \frac{\partial z}{\partial y} \, dy$
梯度： $\operatorname{grad} f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$
多元复合函数求导（链式法则）：如 $z = f(u,v)$ ， $u = \varphi(x,y)$ ， $v = \psi(x,y)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$
隐函数求导：由 $F(x,y,z)=0$ 确定 $z = z(x,y)$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$
重积分换元： $\iint_D f(x,y) \, dxdy = \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v)) \, |J| \, du dv$ ，其中 $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$
曲线积分、曲面积分等相关公式（如格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）在此略去，可根据需要另行总结。