《对坐标的曲面积分》 包括但不限于：

• 侧的概念
  • 上下左右前后侧
  • 外侧内测
  • 正侧和负侧
• 投影区域面积的正负
  • 根据对应cos值来取正负
• 对坐标曲面积分的定义
• 对坐标曲面积分的计算方法
  • 判断正负
  • 投影做二重积分

---

对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）

---

一、曲面的「侧」的概念

对坐标的曲面积分依赖于曲面的定向，即指定曲面的哪一侧为「正侧」。这是它与第一类曲面积分的根本区别。

1.1 双侧曲面与单侧曲面

• 双侧曲面：可以区分两个面（如上/下、内/外）。我们通常研究的曲面都是双侧曲面。
• 单侧曲面：如莫比乌斯带，无法区分两侧。本课程中只讨论双侧曲面。

1.2 由显式方程给出的曲面 ——「上下、左右、前后」侧

📌 曲面 $\Sigma: z = z(x,y)$ → 投影到 $xOy$ 平面

• 上侧：曲面的法向量 $\vec{n}$ 与 $z$ 轴正向的夹角 $\gamma$ 为锐角（$\cos\gamma > 0$）。
• 下侧：法向量 $\vec{n}$ 与 $z$ 轴正向的夹角 $\gamma$ 为钝角（$\cos\gamma < 0$）。

记忆：上侧 = 法向量指向上方；下侧 = 法向量指向下方。

📌 曲面 $\Sigma: y = y(x,z)$ → 投影到 $xOz$ 平面

• 右侧：法向量 $\vec{n}$ 与 $y$ 轴正向夹角 $\beta$ 为锐角（$\cos\beta > 0$）。
• 左侧：法向量 $\vec{n}$ 与 $y$ 轴正向夹角 $\beta$ 为钝角（$\cos\beta < 0$）。

记忆：站在 $y$ 轴正方向看，右侧 = 曲面在右边。

📌 曲面 $\Sigma: x = x(y,z)$ → 投影到 $yOz$ 平面

• 前侧：法向量 $\vec{n}$ 与 $x$ 轴正向夹角 $\alpha$ 为锐角（$\cos\alpha > 0$）。
• 后侧：法向量 $\vec{n}$ 与 $x$ 轴正向夹角 $\alpha$ 为钝角（$\cos\alpha < 0$）。

记忆：前侧 = 法向量指向前方（$x$ 轴正方向）。

1.3 封闭曲面的「外侧」与「内侧」

对于封闭曲面（如球面、椭球面），不区分上下左右，而是：

• 外侧：法向量 $\vec{n}$ 指向曲面外部（远离曲面所包围区域）。
• 内侧：法向量 $\vec{n}$ 指向曲面内部（朝向曲面所包围区域）。

对于球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$：外侧对应法向量从球心向外辐射；内侧对应法向量指向球心。

1.4 「正侧」与「负侧」

• 通常，我们约定曲面方程显式表达的那一侧为正侧：
  • $z = z(x,y)$ → 上侧为正侧，下侧为负侧；
  • $y = y(x,z)$ → 右侧为正侧，左侧为负侧；
  • $x = x(y,z)$ → 前侧为正侧，后侧为负侧。
• 封闭曲面通常取外侧为正侧。

---

二、投影区域面积的「正负」

对坐标曲面积分中，投影到坐标平面上的面积元素是带符号的（可正可负），符号由曲面的侧决定。

2.1 核心原理：$\cos$ 的符号决定投影正负

$$dxdy = \cos\gamma \, dS, \quad dzdx = \cos\beta \, dS, \quad dydz = \cos\alpha \, dS$$

其中 $dS$ 是曲面的面积元素（恒正）。投影面积的正负完全取决于方向余弦的符号：

2.2 封闭曲面的外侧投影符号

对于封闭曲面取外侧：

• 在曲面的上半部分（$z$ 较大处），外侧通常是上侧，$\cos\gamma > 0$，$dxdy$ 取正；
• 在曲面的下半部分（$z$ 较小处），外侧通常是下侧，$\cos\gamma < 0$，$dxdy$ 取负。

⚠️ 注意：同一封闭曲面，外侧在不同位置对应不同的「上/下」侧，投影符号要分片判断。

2.3 判断正负的实用方法

方法一：看曲面法向量与坐标轴的夹角。若法向量指向该轴正方向一侧，则投影为正；否则为负。

方法二：对于 $dxdy$ 项，若指定了曲面的侧：

• 若曲面上每点的法向量均指向 $z$ 轴正方向一侧（即与 $z$ 轴夹角为锐角），则 $dxdy$ 投影取正；
• 否则取负。

---

三、定义

设 $\Sigma$ 是光滑的有向曲面（指定了正侧），函数 $R(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有定义。

将 $\Sigma$ 分割成 $n$ 个小块 $\Delta S_i$（面积），在每一小块上任取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$，该点处曲面指定侧的法向量方向余弦为 $\cos\alpha_i,\cos\beta_i,\cos\gamma_i$。

作和式：

$$\sum_{i=1}^{n} R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \, (\Delta S_i \cdot \cos\gamma_i)$$

记 $\lambda$ 为各小块最大直径。若 $\lambda \to 0$ 时上述和式的极限存在且与分割方式和点的选取无关，则称此极限为 $R(x,y,z)$ 在曲面 $\Sigma$ 指定侧上对坐标 $x,y$ 的曲面积分，记作：

$$\iint_{\Sigma} R(x,y,z) \, dxdy = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \, (\Delta S_i \cdot \cos\gamma_i)$$

类似定义：

$$\iint_{\Sigma} P(x,y,z) \, dydz, \quad \iint_{\Sigma} Q(x,y,z) \, dzdx$$

组合形式（最常见的写法）：

$$\iint_{\Sigma} P \, dydz + Q \, dzdx + R \, dxdy$$

物理意义：设 $\vec{A} = (P, Q, R)$ 为流速场，则该积分表示单位时间内流过曲面 $\Sigma$（指定侧）的通量（流量）。

---

四、计算方法 —— 判断正负 + 投影做二重积分

4.1 基本计算步骤（以 $dxdy$ 项为例）

第一步：将曲面 $\Sigma$ 写成显式方程 $z = z(x,y)$，确定其在 $xOy$ 平面上的投影区域 $D_{xy}$。

第二步：判断符号 —— 根据指定侧确定 $dxdy$ 前的正负号：

若曲面不能一步写成 $z(x,y)$（如封闭曲面），需分片，每片分别判断符号。

第三步：代入二重积分公式：

$$\iint_{\Sigma} R(x,y,z) \, dxdy = \pm \iint_{D_{xy}} R\big(x, y, z(x,y)\big) \, dxdy$$

公式中的 $\pm$：上侧取 $+$，下侧取 $-$。

---

4.2 处理 $dydz$ 和 $dzdx$ 项

$dydz$ 项（需写成 $x = x(y,z)$）

投影到 $yOz$ 平面：

$$\iint_{\Sigma} P(x,y,z) \, dydz = \pm \iint_{D_{yz}} P\big(x(y,z), y, z\big) \, dydz$$

$dzdx$ 项（需写成 $y = y(x,z)$）

投影到 $xOz$ 平面：

$$\iint_{\Sigma} Q(x,y,z) \, dzdx = \pm \iint_{D_{xz}} Q\big(x, y(x,z), z\big) \, dzdx$$

---

4.3 完整计算流程（以 $\iint_{\Sigma} P dydz + Q dzdx + R dxdy$ 为例）

方法一：分项投影法（最常用）

分别计算三项，每项投影到对应的坐标平面并判断符号。

方法二：统一投影法（合一法）

利用关系：

$$dydz = -\frac{z_x}{z_y} dxdy,\quad dzdx = -\frac{z_y}{z_x} dxdy \quad \text{（仅当 $z=z(x,y)$ 时）}$$

或者更准确地，利用法向量方向余弦：

$$(dydz, dzdx, dxdy) = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) \, dS$$

对于 $z = z(x,y)$ 取上侧：

$$\vec{n} = (-z_x, -z_y, 1) \quad \text{或归一化} \quad \frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}} (-z_x, -z_y, 1)$$

因此：

$$dydz = \cos\alpha \, dS = -\frac{z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}} dS,\quad dzdx = -\frac{z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}} dS,\quad dxdy = \frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}} dS$$

全部投影到 $xOy$ 平面，再化为二重积分：

$$\iint_{\Sigma} P dydz + Q dzdx + R dxdy = \iint_{D_{xy}} \left[ P(-z_x) + Q(-z_y) + R \right]_{z=z(x,y)} dxdy$$

⚠️ 注意：此公式仅适用于上侧。若取下侧，需整体加负号（因为方向余弦全反号）。

---

4.4 封闭曲面的计算 —— 高斯公式

若 $\Sigma$ 是封闭曲面（取外侧），且 $P, Q, R$ 在 $\Sigma$ 所围区域 $\Omega$ 上有一阶连续偏导数，则：

$$\iint_{\Sigma} P dydz + Q dzdx + R dxdy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$$

这是将第二类曲面积分转化为三重积分的利器。

---

五、典型例题示范

例：计算 $\displaystyle \iint_{\Sigma} xyz \, dxdy$，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 外侧在 $x \ge 0, y \ge 0$ 的部分。

解：

球面需分上半球面（$z = \sqrt{1-x^2-y^2}$）和下半球面（$z = -\sqrt{1-x^2-y^2}$）。

• 上半球面取外侧 → 对应上侧 → $dxdy$ 取正；
• 下半球面取外侧 → 对应下侧 → $dxdy$ 取负。

投影区域 $D_{xy}$ 均为 $x^2+y^2 \le 1,\; x \ge 0,\; y \ge 0$。

$$\begin{aligned} \iint_{\Sigma} xyz \, dxdy &= \iint_{\Sigma_{\text{上}}} xyz \, dxdy + \iint_{\Sigma_{\text{下}}} xyz \, dxdy \\[4pt] &= +\iint_{D_{xy}} xy \sqrt{1-x^2-y^2} \, dxdy \;+\; \left( -\iint_{D_{xy}} xy \left(-\sqrt{1-x^2-y^2}\right) dxdy \right) \\[4pt] &= \iint_{D_{xy}} xy \sqrt{1-x^2-y^2} \, dxdy + \iint_{D_{xy}} xy \sqrt{1-x^2-y^2} \, dxdy \\[4pt] &= 2 \iint_{D_{xy}} xy \sqrt{1-x^2-y^2} \, dxdy \end{aligned}$$

再用极坐标计算即可。

---

六、对比总结：两类曲面积分