二重积分是什么

一元不定积分 ∫f(x)dx就是找一个函数 F(x)，它求导等于已知的 f(x)。这种只有一个变量 x 的积分，叫一元积分、一重积分。 二重积分是有两个自变量的积分，记作：∬Df(x,y)dxdy 二重积分：变量是 (x、y)，研究一个平面区域 D 上的变化

• 一元定积分 $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ 曲线下的面积
• 二重定积分 $\displaystyle\iint_D f(x,y)dxdy$ 曲面 (z=f(x,y)) 底下、平面区域 D 上方的立体体积

二重积分的性质

设二元函数$f(x,y),g(x,y)$在区域$D$上可积，$k$为常数。

1. 线性性质

$$\iint_D \big[kf(x,y)\pm g(x,y)\big]dxdy = k\iint_D f(x,y)dxdy \pm \iint_D g(x,y)dxdy$$

2. 积分区域可加性

若把区域$D$拆成无重叠的$D_1,D_2$：

$$\iint_D f(x,y)dxdy =\iint_{D_1} f(x,y)dxdy + \iint_{D_2} f(x,y)dxdy$$

3. 被积函数为1

$$\iint_D 1\,dxdy = S_D$$

$S_D$ 是平面区域$D$的面积。

4. 保号比较性质

若在$D$上恒有$f(x,y)\ge 0$，则

$$\iint_D f(x,y)dxdy \ge 0$$

若$D$上$f(x,y)\ge g(x,y)$，则

$$\iint_D f(x,y)dxdy \ge \iint_D g(x,y)dxdy$$

5. 估值不等式

设$m\le f(x,y)\le M$，$S$为$D$面积：

$$m\cdot S \;\le\; \iint_D f(x,y)dxdy \;\le\; M\cdot S$$

同时类似的：

$$\begin{array}{c} -|f(x, y)| \leqslant f(x, y) \leqslant|f(x, y)| \\ -\iint_{D}|f(x, y)| d \sigma \leqslant \iint_{D} f(x, y) d \sigma \leqslant \iint_{D}|f(x, y)| d \sigma \end{array}$$

6. 二重积分中值定理

$f(x,y)$在闭区域$D$连续，则存在$(\xi,\eta)\in D$：

$$\iint_D f(x,y)dxdy = f(\xi,\eta)\cdot S_D$$

7. 奇偶对称性*

区域$D$关于$x$轴对称

$f(x,-y) = -f(x,y)$（对$y$奇函数）：

$$\iint_D f(x,y)dxdy = 0$$

$f(x,-y) = f(x,y)$（对$y$偶函数）：

$$\iint_D f(x,y)dxdy = 2\iint_{D_{\text{上半}}} f(x,y)dxdy$$

区域$D$关于$y$轴对称

$f(-x,y) = -f(x,y)$（对$x$奇函数）：

$$\iint_D f(x,y)dxdy = 0$$

$f(-x,y) = f(x,y)$（对$x$偶函数）：

$$\iint_D f(x,y)dxdy = 2\iint_{D_{\text{右半}}} f(x,y)dxdy$$

8. 轮换对称性*

区域$D$互换$x,y$后不变：

$$\iint_D f(x,y)dxdy = \iint_D f(y,x)dxdy$$

二重积分的计算

直角坐标（累次积分法）

累次积分法

累次积分法（Iterated Integration），就是把重积分（二重 / 三重）拆成一串单变量定积分，一层一层往里算，核心是先固定一个变量，积另一个，再积外层变量。 一、核心思想（二重积分） 重积分： $\iint_D f(x,y)\,dxdy$累次积分（两种顺序）： 先 y 后 x（X 型区域）：

$$\int_{a}^{b}\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy\right)dx$$

先 x 后 y（Y 型区域）： $\int_{c}^{d}\left(\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)\,dx\right)dy$先把一个变量当常数，算内层定积分，再算外层。

而选择x型还是y型，取决于哪个好算

• 区域垂直于哪个轴
• 哪个型不用分段积分
• 哪个型能算出来用哪个

累次积分法（在长方形区域上时）

被积函数可分离变量，可拆成两个定积分乘积 若 $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$，则：

$$\iint_D g(x)h(y)\,dxdy =\left(\int_a^b g(x)dx\right)\cdot\left(\int_c^d h(y)dy\right)$$

分离变量 → 二重积分变两个一元积分相乘。因为此时两个一元积分算出来都是常数

极坐标

xy坐标 ↔ 极坐标替换式

$$x=\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta$$ $$x^2+y^2=\rho^2$$

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$$dxdy = \rho\,d\rho d\theta$$

关键点：一定要多乘一个 $\boldsymbol{\rho}$，考试最容易漏。

二重积分极坐标变换公式

$$\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\,\boldsymbol{\rho}\,d\rho d\theta$$

常用积分次序

先$\boldsymbol{\rho}$后$\boldsymbol{\theta}$（最常用）

$$\int_{\alpha}^{\beta} d\theta \int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)} f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\,\rho\,d\rho$$

五、常见区域极限（用$\boldsymbol{\rho}$）

1. 原点为圆心、半径$R$整圆

$$\theta\in[0,2\pi],\ \rho\in[0,R]$$

2. 上半圆 $y\ge 0$

$$\theta\in[0,\pi],\ \rho\in[0,R]$$

3. 第一象限四分之一圆

$$\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right],\ \rho\in[0,R]$$

4. 圆环 $a\le x^2+y^2\le b$

$$\theta\in[0,2\pi],\ \rho\in[a,b]$$

六、适合用极坐标的情况

• 区域：圆、圆环、扇形、心形线、双纽线
• 被积函数含：$x^2+y^2,\sqrt{x^2+y^2},\dfrac{y}{x}$ 替换：

$$f(x^2+y^2)\Rightarrow f(\rho^2),\quad \dfrac{y}{x}\Rightarrow \tan\theta,\quad \sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow \rho$$

七、解题标准步骤

1. 画区域$D$，判断换极坐标
2. 定出$\theta$范围
3. 代换 $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$, $x^2+y^2=\rho^2$到区域$D$的表达式里,算出用$\theta$表示的$\rho$
4. 定出$\rho$上下限
5. $\iint_D f(x,y)dxdy$ 换成 $\iint_D f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\,\boldsymbol{\rho}\,d\rho d\theta$
6. 化为累次积分计算

二重积分的换元法

一、基本原理

二重积分换元法的核心思想：通过坐标变换，将复杂的积分区域 $D$ 映射为一个更简单的新区域 $D'$，从而简化积分计算。

设变换为：

$$T: \quad x = x(u, v),\quad y = y(u, v)$$

它将 $uOv$ 平面上的区域 $D'$ ——映射到 $xOy$ 平面上的区域 $D$。

则换元公式为：

$$\iint_D f(x, y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{D'} f[x(u,v),\, y(u,v)] \cdot |J|\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

其中 $|J|$ 是 雅可比行列式（Jacobian）的绝对值。

二、雅可比行列式

$$J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[8pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \cdot \frac{\partial y}{\partial u}$$

几何意义：$|J|$ 表示面积微元的缩放比例，即 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = |J|\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v$。

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例子：极坐标变换

3.1 变换公式

$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta$$ $$(r \geq 0,\quad 0 \leq \theta \leq 2\pi)$$

3.2 雅可比行列式

$$J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r$$ $$\therefore \quad |J| = r$$

3.3 极坐标下的二重积分公式

$$\iint_D f(x, y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{D'} f(r\cos\theta,\, r\sin\theta) \cdot r \,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

⚠️ 容易漏掉：不要忘记乘 $r$！

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极坐标换元

$\theta$ 型区域（放射扇形）

区域由两条射线 $\theta=\alpha,\ \theta=\beta$ 和两条曲线 $r=r_1(\theta),\ r=r_2(\theta)$ 围成：

$$\iint_D f\,\mathrm{d}\sigma = \int_{\alpha}^{\beta} \mathrm{d}\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r,\theta) \cdot r\,\mathrm{d}r$$

$r$ 型区域（同心圆型）

区域由两个圆弧 $r=a,\ r=b$ 和两条曲线 $\theta=\theta_1(r),\ \theta=\theta_2(r)$ 围成：

$$\iint_D f\,\mathrm{d}\sigma = \int_{a}^{b} \mathrm{d}r \int_{\theta_1(r)}^{\theta_2(r)} f(r,\theta) \cdot r\,\mathrm{d}\theta$$

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其他常用换元

6.1 广义极坐标（椭圆区域）

当积分区域为椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} \leq 1$ 时：

$$x = ar\cos\theta,\quad y = br\sin\theta$$ $$J = \begin{vmatrix} a\cos\theta & -ar\sin\theta \\ b\sin\theta & br\cos\theta \end{vmatrix} = abr$$ $$\mathrm{d}x\mathrm{d}y = abr\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

6.2 线性变换

当积分区域是平行四边形时，可使用线性变换将其变为矩形。

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解题步骤

1. 分析区域和被积函数，选择合适的变换
2. 写出变换公式 $x=x(u,v),\ y=y(u,v)$
3. 确定新区域 $D'$ 的边界
4. 计算雅可比行列式 $J$ 并取绝对值
5. 代入换元公式，化为新坐标系下的累次积分
6. 计算累次积分

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常见易错提醒

• 换元后必须乘 $|J|$，极坐标下是 $r$
• 累次积分的积分次序要与区域类型匹配
• $\theta$ 的范围要画图确认，不要想当然取 $[0, 2\pi]$
• 定限时从原点出发的射线先交的是下限，后交的是上限