怎么求空间曲线的切线和法平面

有空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程时

设空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程为： $\begin{cases} x = x(t) \ y = y(t) \ z = z(t) \end{cases}$ 其中函数 $x(t), y(t), z(t)$ 均可导。

1. 确定切点 当参数 $t=t_0$ 时，对应曲线上的点为 $M_0(x_0, y_0, z_0)$，其中 $x_0=x(t_0), y_0=y(t_0), z_0=z(t_0)$。
2. 切向量 曲线在点 $M_0$ 处的切向量 $\vec{T}$ 由参数方程对 $t$ 的导数在该点的值构成： $\vec{T} = (x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$ 此向量不能为零向量。
3. 切线方程 切线是过点 $M_0$ 且以 $\vec{T}$ 为方向向量的直线，其方程为（对称式）： $\frac{x - x_0}{x'(t_0)} = \frac{y - y_0}{y'(t_0)} = \frac{z - z_0}{z'(t_0)}$
4. 法平面方程 法平面是过点 $M_0$ 且与切线垂直的平面。因此，切向量 $\vec{T}$ 就是法平面的法向量。其方程为（点法式）： $x'(t_0)(x - x_0) + y'(t_0)(y - y_0) + z'(t_0)(z - z_0) = 0$

当空间曲线 $\Gamma$ 由两个曲面方程联立给出时

$\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$ 设 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 是曲线上的一点。

1. 求切向量 曲线在点 $M_0$ 处的切向量 $\vec{T}$ 垂直于两个曲面在该点的法向量。因此，切向量可以通过两个曲面法向量的叉积求得： $\vec{T}=\overrightarrow{n_{F}} \times \overrightarrow{n_{G}}=\left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ F_{x} & F_{y} & F_{z} \\ G_{x} & G_{y} & G_{z} \end{array}\right|_{M_{0}}$ 展开后，切向量 $\vec{T}$ 的分量可以用雅可比行列式表示： $\vec{T} = \left( \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\bigg|_{M_0}, \frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}\bigg|_{M_0}, \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}\bigg|_{M_0} \right)$ 其中，例如 $\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)} = \begin{vmatrix} F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{vmatrix}$。
2. 写出切线与法平面方程 得到切向量 $\vec{T}=(T_x, T_y, T_z)$ 后，代入情形一的公式即可：
   • 切线方程： $\frac{x - x_0}{T_x} = \frac{y - y_0}{T_y} = \frac{z - z_0}{T_z}$
   • 法平面方程： $T_x(x - x_0) + T_y(y - y_0) + T_z(z - z_0) = 0$

介于上述两种情形之间的特殊情况

例如曲线方程为： $\begin{cases} y = y(x) \ z = z(x) \end{cases}$ 这可以看作是以 $x$ 为参数的参数方程。

1. 求切向量 将 $x$ 视为参数，则曲线可写为 $(x, y(x), z(x))$。对 $x$ 求导，得到切向量： $\vec{T} = (1, y'(x_0), z'(x_0))$
2. 写出切线与法平面方程 同样，将得到的切向量代入情形一的公式中：
   • 切线方程： $\frac{x - x_0}{1} = \frac{y - y_0}{y'(x_0)} = \frac{z - z_0}{z'(x_0)}$
   • 法平面方程： $1 \cdot (x - x_0) + y'(x_0)(y - y_0) + z'(x_0)(z - z_0) = 0$

曲面的参数方程形式下对于各个参数求导出的是切向量。 而整个大F下对于三个元素做偏导出的是法向量。