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3.3不定积分的计算

基本积分公式法

注意事项

  1. 积分完要加常数C
  2. cotx和cscx的导数是带负号的
  3. 注意识别arcsin等反三角函数的导数（以分式出现）
  4. 注意没导完的，复合函数求导

公式总结:

∗1.基本不定积分∫0 dx=C∫k dx=kx+C∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)∫1x dx=ln⁡∣x∣+C∫ex dx=ex+C∫ax dx=axln⁡a+C(a>0,a≠1)*{1. 基本不定积分} \begin{align*} &\int 0 \, dx = C \\ &\int k \, dx = kx + C \\ &\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \\ &\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \\ &\int e^x \, dx = e^x + C \\ &\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1) \end{align*}
∗2.线性组合积分∫[k1f(x)+k2g(x)] dx=k1∫f(x) dx+k2∫g(x) dx+C*{2. 线性组合积分} \begin{align*} &\int [k_1 f(x) + k_2 g(x)] \, dx = k_1 \int f(x) \, dx + k_2 \int g(x) \, dx + C \end{align*}
二、三角函数积分1.基本三角函数积分∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C∫cos⁡x dx=sin⁡x+C∫tan⁡x dx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C=ln⁡∣sec⁡x∣+C∫cot⁡x dx=ln⁡∣sin⁡x∣+C=−ln⁡∣csc⁡x∣+C∫sec⁡x dx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C∫csc⁡x dx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C∫csc⁡2x dx=−cot⁡x+C∫sec⁡xtan⁡x dx=sec⁡x+C∫csc⁡xcot⁡x dx=−csc⁡x+C二、三角函数积分 \\ 1. 基本三角函数积分 \\ \begin{align*} &\int \sin x \, dx = -\cos x + C \\ &\int \cos x \, dx = \sin x + C \\ &\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C \\ &\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C = -\ln|\csc x| + C \\ &\color{yellow}\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C \\ &\color{yellow}\int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C \\ &\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \\ &\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \\ &\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C \\ &\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C \end{align*}
∗2.平方三角函数积分∫sin⁡2x dx=x2−sin⁡2x4+C∫cos⁡2x dx=x2+sin⁡2x4+C∫tan⁡2x dx=tan⁡x−x+C∫cot⁡2x dx=−cot⁡x−x+C*{2. 平方三角函数积分} \begin{align*} &\int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C \\ &\int \cos^2 x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C \\ &\int \tan^2 x \, dx = \tan x - x + C \\ &\int \cot^2 x \, dx = -\cot x - x + C \end{align*}
∗3.通用三角函数积分公式∫sin⁡(ax) dx=−1acos⁡(ax)+C∫cos⁡(ax) dx=1asin⁡(ax)+C∫sec⁡2(ax) dx=1atan⁡(ax)+C∫csc⁡2(ax) dx=−1acot⁡(ax)+C*{3. 通用三角函数积分公式} \begin{align*} &\int \sin(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C \\ &\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C \\ &\int \sec^2(ax) \, dx = \frac{1}{a} \tan(ax) + C \\ &\int \csc^2(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cot(ax) + C \end{align*}
三、反三角函数积分∫11−x2 dx=arcsin⁡x+C=−arccos⁡x+C1∫−11−x2 dx=arccos⁡x+C∫11+x2 dx=arctan⁡x+C=−arccot⁡x+C1∫−11+x2 dx=arccot⁡x+C{三、反三角函数积分} \begin{align*} &\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C = -\arccos x + C_1 \\ &\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arccos x + C \\ &\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C = -\operatorname{arccot} x + C_1 \\ &\int -\frac{1}{1+x^2} \, dx = \operatorname{arccot} x + C \end{align*}
∗四、双曲函数积分∫sinh⁡x dx=cosh⁡x+C∫cosh⁡x dx=sinh⁡x+C∫tanh⁡x dx=ln⁡(cosh⁡x)+C∫coth⁡x dx=ln⁡∣sinh⁡x∣+C∫sech⁡2x dx=tanh⁡x+C∫csch⁡2x dx=−coth⁡x+C∫sech⁡xtanh⁡x dx=−sech⁡x+C∫csch⁡xcoth⁡x dx=−csch⁡x+C*{四、双曲函数积分} \begin{align*} &\int \sinh x \, dx = \cosh x + C \\ &\int \cosh x \, dx = \sinh x + C \\ &\int \tanh x \, dx = \ln(\cosh x) + C \\ &\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C \\ &\int \operatorname{sech}^2 x \, dx = \tanh x + C \\ &\int \operatorname{csch}^2 x \, dx = -\coth x + C \\ &\int \operatorname{sech} x \tanh x \, dx = -\operatorname{sech} x + C \\ &\int \operatorname{csch} x \coth x \, dx = -\operatorname{csch} x + C \end{align*}
∗五、常用代数函数积分∗1.有理函数积分∫1x2+a2 dx=1aarctan⁡(xa)+C∫1x2−a2 dx=12aln⁡∣x−ax+a∣+C∫1a2−x2 dx=12aln⁡∣a+xa−x∣+C*{五、常用代数函数积分} *{1. 有理函数积分} \begin{align*} &\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C \\ &\color{yellow}\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C \\ &\color{yellow}\int \frac{1}{a^2 - x^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C \end{align*}
2.平方根积分∫1a2−x2 dx=arcsin⁡(xa)+C(a>0)∫1x2+a2 dx=ln⁡∣x+x2+a2∣+C∫1x2−a2 dx=ln⁡∣x+x2−a2∣+C(∣x∣>a>0){2. 平方根积分} \begin{align*} &\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C \quad (a > 0) \\ &\color{yellow}\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C \\ &\color{yellow}\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C \quad (|x| > a > 0) \end{align*}

换元积分法

第一类换元法

根据f(x)=∫f(x)′dx因变量=积分(因变量导数∗自变量的微分)\begin{align} \\ 根据 f(x) &= \int f(x)'dx \\ 因变量 &= 积分(因变量导数 * 自变量的微分) \end{align}

所以凑f(神马)=∫f(神马)′d(神马)f(神马) = \int f(神马)'d(神马)很重要

  1. 确定f(神马)′f(神马)'里的ff，这里的ff是能用积分公式的简单函数。
  2. 求d(神马)d(神马)是多少
  3. 配系数k使原式∫F(x)dx\color{yellow}\int F(x)dx变成k∫f(神马)′d(神马)\color{yellow}k\int f(神马)'d(神马)
  4. 根据公式计算积分
  5. 乘k出答案
有理函数的分解
1x2−a2=1(x−a)(x+a)=12a∗(x+a)−(x−a)(x−a)(x+a)\begin{align} \frac{1}{x^2-a^2} = \frac{1}{(x-a)(x+a)} = \frac{1}{2a} * \frac{(x+a)-(x-a)}{(x-a)(x+a)} \end{align}

第二换元积分法

  1. 用单调函数φ(t)\varphi(t)代替x
  2. 把dx换成dt
  3. 求t的积分
  4. 回代x

设求不定积分：∫f(x) dx\displaystyle \int f(x)\,dx 换元令x=φ(t)x=\varphi(t) ，要求：φ(t)\boldsymbol{\varphi(t)} 单调、可导、且 φ′(t)≠0\boldsymbol{\varphi'(t)\neq 0} 微元替换dx=φ′(t)dtdx = \boldsymbol{\varphi'(t)dt} 化为t的积分并算出结果

∫f(x)dx\int f(x)dx =∫f(φ(t))⋅φ′(t)dt=\int f\big(\varphi(t)\big)\cdot \varphi'(t)dt =F(t)+C= F(t) + C 反解回代由 x=φ(t)x=\varphi(t) 求出反函数 t=φ−1(x)t=\varphi^{-1}(x)，代回去： F(φ−1(x))+C\boldsymbol{F\big(\varphi^{-1}(x)\big) + C}

分布积分法

被积函数是两个不同函数的乘积

从(uv)′=u′v+uv′推出∫udv=uv−∫vdu+C1\begin{align} \\ 从 (uv)' =u'v + uv' 推出\\ \int udv = uv - \int vdu +C_1 \end{align}

从高到低凑dvdv优先级: 指数函数，三角函数，幂函数，对数函数，反三角函数 （在计算时有时会算出原式，这时需与原式合并后再计算）

点火公式（华莱士公式）

专门用来快速算正弦、余弦在 0→π20\to\frac{\pi}{2} 的定积分，不用一步步凑微分分部积分。

公式形式

记

In=∫0π2sin⁡nx dx=∫0π2cos⁡nx dxI_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,dx
  1. nn 为正偶数 n=2kn=2k
I2k=π2⋅12⋅34⋅56⋯2k−12kI_{2k} =\frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdots\frac{2k-1}{2k}
  1. nn 为正奇数 n=2k+1n=2k+1
I2k+1=1⋅23⋅45⋅67⋯2k2k+1I_{2k+1} =1\cdot \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdots\frac{2k}{2k+1}
口诀（为啥叫点火）

偶乘 π2\dfrac{\pi}{2}，奇不乘； 从大往小，隔一取一，分母比分子大一。

举例秒算
  • ∫0π2sin⁡2x dx=12⋅π2=π4\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x\,dx = \frac12\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}
  • ∫0π2cos⁡3x dx=23\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^3 x\,dx = \frac23
  • ∫0π2sin⁡4x dx=12⋅34⋅π2=3π16\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^4 x\,dx = \frac12\cdot\frac34\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}
  • ∫0π2cos⁡5x dx=23⋅45=815\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^5 x\,dx = \frac23\cdot\frac45 = \frac{8}{15}
扩展常用结论
∫0πsin⁡nx dx=2∫0π2sin⁡nx dx\int_{0}^{\pi}\sin^n x\,dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx ∫0πcos⁡nx dx={0,n 奇2In,n 偶\int_{0}^{\pi}\cos^n x\,dx = \begin{cases} 0, & n\text{ 奇}\\ 2I_n, & n\text{ 偶} \end{cases}

做题遇到高次正余弦在 0∼π20\sim\frac{\pi}{2}，直接套点火公式秒杀，不用分部积分硬算。

有理函数（有理分式）的积分

  1. 将假分式化为真分式

简单无理函数的积分

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