3.2不定积分 · 未命名书册

不定积分定义

写法

$\int$ 神马 $d$ 什么 = 啥

理解

神马于什么微分上 不定积分 等于啥
啥对什么求导是神马

不定积分公式(基本积分表)

常数k

\begin{align} \\ \int k dx = kx + C \\ \end{align}

幂函数

\begin{gather} \int x^\mu dx = \frac{1}{\mu+1}x^{\mu+1}+C \\ \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{dx}{x}= \ln |x| + C \\ \end{gather}

笔记

要计算 $\frac{d(\ln |x|)}{dx}$ ，可以分情况讨论 $x$ 的正负：当 $x > 0$ 时， $|x| = x$ ，所以 $\ln |x| = \ln x$ ，此时导数为 $\frac{d(\ln x)}{dx} = \frac{1}{x}$ ；当 $x < 0$ 时， $|x| = -x$ ，所以 $\ln |x| = \ln(-x)$ ，根据复合函数求导法则，导数为 $\frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$ 。综上，无论 $x > 0$ 还是 $x < 0$ ，都有 $\frac{d(\ln |x|)}{dx} = \boxed{\frac{1}{x}}$ 。

指数函数

\begin{align} \int a^x dx &= \frac{a^x}{\ln a}+C \quad (a＞0,a≠1)\\ \text{特殊} \int e^x dx &= e^x+C \\ \end{align}

三角函数

\begin{align} \int sin x dx&= - cos x + C \\ \int cos x dx &= sinx + C \\ \\ \int \frac{1}{cos^2x} dx =\int &sec^2 x dx= tanx + C \\ \int \frac{1}{sin^2x} dx =\int &csc^2 x dx= -cotx + C \\ \end{align}

不定积分的性质

运算性质

加减的积分等于积分的加减(dx不能不写)(不适用于无穷多个函数加减)
非零常数因子可以提到积分号外面

微积性质

导数(微分) 和 不定积分互为逆运算

先导后积-抵消后有常数C
先积后导-完全抵消
先微后积-抵消后有常数C
先积后微-被积表达式

先微先导有常数，先积抵消 有微微