2.2.1求导公式与方法

求导公式

基本法则

$$\begin{align} &\text{1. 常数法则：} & (c)' &= 0 \\ &\text{2. 幂法则：} & (x^n)' &= nx^{n-1} \\ &\text{3. 常数倍法则：} & [cf(x)]' &= cf'(x) \\ &\text{4. 和差法则：} & [f(x) \pm g(x)]' &= f'(x) \pm g'(x) \\ &\text{5. 积法则：} & [f(x)g(x)]' &= f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\ &\text{6. 商法则：} & \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \\ &\text{7. 链式法则：} & [f(g(x))]' &= f'(g(x)) \cdot g'(x) \end{align}$$

四则运算

$$\begin{align} (u+v)'&=u'+v' \\ (u-v)'&=u'-v' \\ (uv)'&=u'v+uv' \\ (uvw)'&=u'vw+uv'w+uvw' \\ \left( \frac{u}{v} \right)'&= \frac{u'v-uv'}{v^2} \\ \end{align}$$

指数对数

$$\begin{align} &\text{1. 自然指数：} & (e^x)' &= e^x \\ &\text{2. 一般指数：} & (a^x)' &= a^x \ln a \\ &\text{3. 自然对数：} & (\ln|x|)' &= \frac{1}{x} \\ &\text{4. 一般对数：} & (\log_a|x|)' &= \frac{1}{x\ln a} \end{align}$$

三角函数

$$\begin{align} (\sin x)' & =\cos x \\ (\cos x)' & =-\sin x \\ \\ (\tan x)' & =\sec^2 x=\frac{1}{\cos^2 x} \\ (\cot x)' & =-\csc^2 x=-\frac{1}{\sin^2 x} \\ \\ (\sec x)' & =\sec x\tan x \\ (\csc x)' & =-\csc x\cot x \\ \end{align}$$

反三角函数

$$\begin{align} (\arcsin x)' & =\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }} \\ (\arccos x)' & =-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }} \\ \\ (\operatorname{arctan} x)' & =\frac{1}{1+x^2} \\ (\operatorname{arccot} x)' & =-\frac{1}{1+x^2} \\ \\ (\operatorname{arcsec} x)' &= \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \\ (\operatorname{arccsc} x)' &= -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{align}$$

双曲函数

$$\begin{align*} &\text{1. 双曲正弦：} & (\sinh x)' &= \cosh x \\ &\text{2. 双曲余弦：} & (\cosh x)' &= \sinh x \\ &\text{3. 双曲正切：} & (\tanh x)' &= \operatorname{sech}^2 x \\ &\text{4. 双曲余切：} & (\coth x)' &= -\operatorname{csch}^2 x \\ &\text{5. 双曲正割：} & (\operatorname{sech} x)' &= -\operatorname{sech} x \tanh x \\ &\text{6. 双曲余割：} & (\operatorname{csch} x)' &= -\operatorname{csch} x \coth x \end{align*}$$

反双曲函数

$$\begin{align*} &\text{1. 反双曲正弦：} & (\operatorname{arsinh} x)' &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\ &\text{2. 反双曲余弦：} & (\operatorname{arcosh} x)' &= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \quad (x>1) \\ &\text{3. 反双曲正切：} & (\operatorname{artanh} x)' &= \frac{1}{1-x^2} \quad (|x|<1) \\ &\text{4. 反双曲余切：} & (\operatorname{arcoth} x)' &= \frac{1}{1-x^2} \quad (|x|>1) \end{align*}$$

求导方法

参数方程

$$\begin{align*} &\text{若 } x = f(t),\ y = g(t) \\ &\text{则 } \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g'(t)}{f'(t)} \\ \\ &\text{二阶导数：} \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{f'(t)g''(t) - f''(t)g'(t)}{[f'(t)]^3} \end{align*}$$

隐函数求导

$$\text{对方程 } F(x,y)=0 \text{ 两边同时对 } x \text{ 求导，解出 } y'$$

示例

示例：

对数求导

$$\begin{align*} &\text{对于 } y = f(x)，\text{先取对数：} \ln|y| = \ln|f(x)| \\ &\text{两边求导：} \frac{y'}{y} = [\ln|f(x)|]' \\ &\text{最后：} y' = y \cdot [\ln|f(x)|]' \end{align*}$$

高阶导数

$$\begin{align*} &\text{1. } (x^n)^{(n)} = n! \\ &\text{2. } (e^x)^{(n)} = e^x \\ &\text{3. } (a^x)^{(n)} = a^x (\ln a)^n \\ &\text{4. } (\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) \\ &\text{5. } (\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) \\ &\text{6. } (\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} \quad (n \geq 1) \end{align*}$$

幂指函数求导通用公式

$$[f(x)^{g(x)}]' = f(x)^{g(x)} \left[g'(x)\ln f(x) + g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\right]$$