3.2向量的线性组合与线性表示

向量的线性组合与线性表示

给定 $m$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 和一组实数 $k_1, k_2, \dots, k_m$ ，称表达式

k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m

为这组向量的线性组合（linear combination）， $k_i$ 称为组合系数。

线性组合的结果仍是一个 $n$ 维向量。具体地，设

\boldsymbol{\alpha}_i = (a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}), \quad i = 1, 2, \dots, m

则线性组合的第 $j$ 个分量为：

\sum_{i=1}^{m} k_i a_{ij}

组合系数	结果	说明
所有 $k_i = 0$	$\mathbf{0}$	零向量
某个 $k_i = 1$ ，其余为 $0$	$\boldsymbol{\alpha}_i$	向量本身
$k_1 = 1, k_2 = 1$ ，其余为 $0$	$\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$	向量加法
$k = t$ ，其余为 $0$	$t \boldsymbol{\alpha}_i$	数乘

对于向量 $\boldsymbol{\beta}$ 和向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ ，若存在一组实数 $k_1, k_2, \dots, k_m$ ，使得

\boldsymbol{\beta} = k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m

则称 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示（或线性表出）。

将向量组按列排成矩阵，设

A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 & \boldsymbol{\alpha}_2 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_m \end{pmatrix}

则 $\boldsymbol{\beta}$ 可由该向量组线性表示 当且仅当 线性方程组 $A \mathbf{x} = \boldsymbol{\beta}$ 有解。

其中 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_m)^\top$ 就是表示系数向量。

线性表示与线性组合的区别：线性组合是一个表达式，线性表示是存在性命题（某向量能否写为某组合）。
零向量的特殊地位：
- 零向量可由任何向量组线性表示（全取系数 $0$ ）。
- 包含零向量的向量组必线性相关。
- 零向量不能表示为任何线性无关组的非平凡组合。
表示系数的存在性判断：必须用秩判断，不能仅凭向量的个数判断。例如 $m$ 个 $n$ 维向量，当 $m > n$ 时必线性相关，但某个特定向量可能仍不能被表示。
唯一性条件：只有向量组线性无关时，表示系数才唯一。做题时一定要先判断向量组的线性相关性。
矩阵乘法的列视角： $AB$ 的第 $j$ 列是 $A$ 的列向量的线性组合，组合系数是 $B$ 的第 $j$ 列。这是理解线性表示的重要工具。
初等行变换不改变列向量组的线性关系：即若 $\boldsymbol{\beta} = \sum k_i \boldsymbol{\alpha}_i$ ，则经行变换后对应关系保持不变。这是用行最简形求极大无关组和表示系数的理论基础。