3.1向量的概念和线性运算

1. 向量的定义

1.1 几何定义

向量（vector）是既有大小又有方向的量，通常用带箭头的线段表示。

• 记为 $\vec{a}$、$\mathbf{a}$ 或 $\overrightarrow{AB}$（$A$ 为起点，$B$ 为终点）。
• 向量的模（长度）记为 $|\vec{a}|$ 或 $\|\vec{a}\|$。

1.2 代数定义

在数学中，向量通常定义为 $n$ 个有序数构成的数组：

$$\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$$

或写作列向量：

$$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$$

其中 $a_i$ 称为向量的分量（component）或坐标。

1.3 向量的表示方式

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2. 特殊向量

2.1 零向量

所有分量都为零的向量：

$$\mathbf{0} = (0, 0, \dots, 0)$$

• 零向量的模为 $0$，方向不确定（或说任意方向）。
• 零向量是向量空间中的加法单位元。

2.2 单位向量

模长为 $1$ 的向量，记为 $\hat{\mathbf{u}}$ 或 $\mathbf{e}$。

• 对于任意非零向量 $\mathbf{v}$，其单位化（归一化）为： $$\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}$$

2.3 标准基向量

$n$ 维空间中，第 $i$ 个分量为 $1$，其余为 $0$ 的向量：

$$\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0, \dots, 0),\quad \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0, \dots, 0),\quad \dots,\quad \mathbf{e}_n = (0, 0, 0, \dots, 1)$$

在 $\mathbb{R}^3$ 中通常记作 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$。

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3. 向量的线性运算

3.1 向量加法

定义：两个 $n$ 维向量的加法为对应分量相加。

若 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$，$\mathbf{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$，则：

$$\mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_1 + b_1,\; a_2 + b_2,\; \dots,\; a_n + b_n)$$

几何意义（平行四边形法则 / 三角形法则）：

• 将 $\mathbf{b}$ 的起点置于 $\mathbf{a}$ 的终点，则 $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ 是从 $\mathbf{a}$ 起点到 $\mathbf{b}$ 终点的向量。
• 也可将 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 作为邻边作平行四边形，对角线即为 $\mathbf{a} + \mathbf{b}$。

3.2 向量数乘（标量乘法）

定义：向量 $\mathbf{a}$ 与标量 $k \in \mathbb{R}$ 的数乘为每个分量乘以 $k$：

$$k\mathbf{a} = (k a_1,\; k a_2,\; \dots,\; k a_n)$$

几何意义：

• 当 $k > 0$ 时，$k\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{a}$ 同向，长度为原来的 $k$ 倍。
• 当 $k < 0$ 时，$k\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{a}$ 反向，长度为原来的 $|k|$ 倍。
• 当 $k = 0$ 时，$0 \cdot \mathbf{a} = \mathbf{0}$。

3.3 向量减法

定义：$\mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b})$，即：

$$\mathbf{a} - \mathbf{b} = (a_1 - b_1,\; a_2 - b_2,\; \dots,\; a_n - b_n)$$

几何意义：

• $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ 是从 $\mathbf{b}$ 的终点指向 $\mathbf{a}$ 的终点的向量（当起点重合时）。
• 也可以看作三角形第三边对应的向量。

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4. 线性运算的运算律

设 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 为同维向量，$k, l \in \mathbb{R}$ 为标量，有以下运算律：

这些运算律正是向量空间（vector space）的公理基础。

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5. 向量的模（长度 / 范数）

5.1 定义

向量 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ 的欧几里得范数（$L_2$ 范数）定义为：

$$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}$$

5.2 基本性质

• 非负性：$\|\mathbf{a}\| \geq 0$，且 $\|\mathbf{a}\| = 0$ 当且仅当 $\mathbf{a} = \mathbf{0}$。
• 齐次性：$\|k\mathbf{a}\| = |k| \cdot \|\mathbf{a}\|$。
• 三角不等式：$\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| \leq \|\mathbf{a}\| + \|\mathbf{b}\|$。
• 柯西-施瓦茨不等式：$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|$。

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6. 向量的点积（内积 / 数量积）

6.1 定义

两个 $n$ 维向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 的点积为对应分量乘积之和：

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$$

或写作矩阵形式：

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^\top \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$$

6.2 几何意义

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos\theta$$

其中 $\theta$ 是 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角（$0 \leq \theta \leq \pi$）。

6.3 点积的性质

• 对称性：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
• 线性性：$(k\mathbf{a} + l\mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) + l(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$
• 与模的关系：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = \|\mathbf{a}\|^2$
• 若 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$，则称 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 正交（垂直）。

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7. 向量夹角与正交

由点积公式可得夹角公式：

$$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$$

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8. 向量的投影

8.1 标量投影（有向长度）

向量 $\mathbf{b}$ 在 $\mathbf{a}$ 方向上的标量投影：

$$\operatorname{comp}_{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|} = \|\mathbf{b}\| \cos\theta$$

8.2 向量投影

向量 $\mathbf{b}$ 在 $\mathbf{a}$ 方向上的向量投影（投影向量）：

$$\operatorname{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|^2} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|^2} \cdot \frac{\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|^2} \cdot \frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|^2}$$

或者可以写成更简洁的形式：

$$\operatorname{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \right) \mathbf{a}$$

8.3 向量分解

任意向量 $\mathbf{b}$ 可分解为平行于 $\mathbf{a}$ 和垂直于 $\mathbf{a}$ 的两个分量：

$$\mathbf{b} = \operatorname{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{b} + \operatorname{perp}_{\mathbf{a}} \mathbf{b}$$

其中 $\operatorname{perp}_{\mathbf{a}} \mathbf{b} = \mathbf{b} - \operatorname{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{b}$，且与 $\mathbf{a}$ 正交。

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11. 常见易错点

• 向量加法不能加不同维度的向量（如 $\mathbb{R}^2$ 和 $\mathbb{R}^3$ 的向量不能相加）。
• 数乘时标量乘以向量的每一个分量，不能漏乘。
• 点积的结果是标量，不是向量。
• $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ 不代表 $\mathbf{a} = \mathbf{0}$ 或 $\mathbf{b} = \mathbf{0}$，只能说明它们正交。
• 零向量与任何向量平行（共线），也与任何向量正交。
• 线性相关≠线性无关的判定：包含零向量的向量组必定线性相关；两个向量成比例则线性相关。