2.7方阵的伴随矩阵

伴随矩阵

1. 定义

设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的方阵，其元素为 $a_{ij}$。 记 $C_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，即 $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ 其中 $M_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的余子式（即去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的 $n-1$ 阶行列式）。

伴随矩阵定义为代数余子式矩阵的转置：

$$A^*=\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix}$$

即： $(\operatorname{adj}(A))_{ij} = C_{ji}$

注意：常见错误是将伴随矩阵直接当作代数余子式矩阵，实际上需要做转置。

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• 只有方阵才有伴随矩阵
• A的伴随矩阵可以理解为A矩阵的代数余子式的转置

2. 核心性质

(1) 恒等式

对于任意方阵 $A$（不论是否可逆）： $AA^{*} = A^{*}A = |A| E$ 方阵乘方阵的伴随等于方阵的行列式乘单位阵

(2) 行列式的性质

$|A^{*}|= |A|^{n-1}$ 方阵的伴随的行列式是原方阵行列式的阶数减一次 （不论是否可逆）

(3) 转置

$(A^\top)^{*} = (A^{*})^\top$ 方阵的转置的伴随等于方阵的伴随的转置

(4) 数乘

设 $k$ 为任意标量，则： $(kA)^{*} = k^{n-1} A^{*}$ k倍的方阵的伴随等于k的阶数减一次倍的方阵的伴随

(5) 乘法

若 $A, B$ 均为 $n \times n$ 方阵，则： $(AB)^{*} = B^{*} \cdot A^{*}$

(6) 与逆矩阵的关系

若 $A$ 可逆（即 $\det(A) \neq 0$），则有： $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^{*}$

(7) 逆的伴随

若 $A$ 可逆，则： $(A^{-1})^{*} = (A^{*})^{-1}$

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3. 特殊矩阵的伴随

• 对角矩阵 若 $A = \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)$，则： $\operatorname{adj}(A) = \operatorname{diag}\left( \prod_{j \neq 1} d_j, \; \prod_{j \neq 2} d_j, \; \dots, \; \prod_{j \neq n} d_j \right)$ 即每个对角元为除去该位置的其余对角元的乘积。
• 二阶方阵 若 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$主对角线元素互换、副对角线元素变成相反数。 且恒有： $$A \cdot A^{*}= \begin{pmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{pmatrix} = |A| E$$
• 上三角 / 下三角矩阵 伴随矩阵也是上三角 / 下三角矩阵。
• 奇异矩阵（不可逆） 伴随矩阵秩最多为 $1$（当 $\operatorname{rank}(A) = n-1$ 时，$\operatorname{rank}(\operatorname{adj}(A)) = 1$）。

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4. 计算步骤示例（以 $3 \times 3$ 矩阵为例）

设

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

步骤：

1. 对每个 $i,j$ 计算代数余子式 $C_{ij}$。
2. 构造代数余子式矩阵： $$\operatorname{cof}(A) = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix}$$
3. 转置得到伴随矩阵： $\operatorname{adj}(A) = (\operatorname{cof}(A))^\top$

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