矩阵的概念

将矩阵用横线和竖线分成若干小块，每块是一个子矩阵。运算时把这些小块当作”数”来处理。

行向量组与列向量组（按向量分块）

1. 按行分块 — 行向量组

将 $m \times n$ 矩阵 $A$ 每一行看作一个 $1 \times n$ 行向量：

$$A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 \\ \boldsymbol{\alpha}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{\alpha}_m \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\alpha}_i \in \mathbb{R}^n$$

• 初等行变换 ⇔ 对行向量组做线性组合
• $A$ 的行秩 = 行向量组的秩

2. 按列分块 — 列向量组

$$A = (\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_n), \quad \boldsymbol{\beta}_j \in \mathbb{R}^m$$

• 初等列变换 ⇔ 对列向量组做线性组合
• $A$ 的列秩 = 列向量组的秩
• $AB$ 的每一列是 $A$ 列向量的线性组合，系数来自 $B$ 的对应列

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分块矩阵的加法与数乘

只要分块方式相同，直接对应块相加：

$$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} A' & B' \\ C' & D' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A+A' & B+B' \\ C+C' & D+D' \end{pmatrix}$$

数乘同理，每个块乘 $k$。

分块矩阵的乘法

$$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AX+BZ & AY+BW \\ CX+DZ & CY+DW \end{pmatrix}$$

规则：完全仿照普通矩阵乘法，但每个乘积中左边矩阵的块在左，右边矩阵的块在右——不可交换

前提：分块方式必须使所有乘积合法（维度一样）（前列数n = 后行数m）。

分块矩阵的转置

$$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} A^T & C^T \\ B^T & D^T \end{pmatrix}$$

大块位置按转置交换，且每块自身也要转置。

特殊分块矩阵

1. 对角分块矩阵

$$A = \begin{pmatrix} A_1 & & \\ & \ddots & \\ & & A_k \end{pmatrix}$$

性质：

• $|A| = |A_1| \cdots |A_k|$
• $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ 每个 $A_i$ 可逆
• $A^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1} & & \\ & \ddots & \\ & & A_k^{-1} \end{pmatrix}$

对角块的方阵要求

每一块 $A_i$ 必须是方阵吗？

• 严格定义下：是的。 否则 $|A_i|$ 不存在，$A_i^{-1}$ 也不存在，可逆性、行列式公式全部失效。
• 若只做加法、乘法而不涉及求逆/行列式，非方阵对角块也可参与——只需分块合法。

同阶分块对角矩阵的乘法

设 $A = \text{diag}(A_1, \dots, A_k)$，$B = \text{diag}(B_1, \dots, B_k)$，对应块尺寸匹配：

$$AB = \begin{pmatrix} A_1B_1 & & \\ & \ddots & \\ & & A_kB_k \end{pmatrix}$$

对角块各自相乘，非对角块恒为零。 大矩阵乘法退化为若干小矩阵乘法。

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2. 分块上/下三角

$$\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} \quad \text{或} \quad \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D \end{pmatrix}$$

行列式：$\det = |A| \cdot |D|$（对角块必须是方阵）

分块矩阵求逆矩阵的简化公式

① 分块对角（$B = 0$ 且 $C = 0$）

$$\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{pmatrix}$$

② 分块上三角（$C = 0$）

$$\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1} \\ 0 & D^{-1} \end{pmatrix}$$

③ 分块下三角（$B = 0$）

$$\begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ -D^{-1}CA^{-1} & D^{-1} \end{pmatrix}$$

④ 反三角形式

$$\begin{pmatrix} 0 & B \\ C & 0 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & C^{-1} \\ B^{-1} & 0 \end{pmatrix} \quad (\text{前提 } B, C \text{ 均可逆方阵})$$

这些公式本质上都是从一般舒尔补公式代入零矩阵得到的，但记住简化版可以直接写出结果。